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考研全微分

全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，在考研数学中也是一个基本考点。具体来说，如果函数 \（ z = f（x, y） \）在点 \（（x, y）\）处的全增量 \（\Delta z = f（x + \Delta x, y + \Delta y） - f（x, y）\）可以表示为 \（\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o（\rho）\），其中 \（A\）和 \（B\）不依赖于 \（\Delta x\）和 \（\Delta y\），仅与 \（（x, y）\）有关，且 \（\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\）当 \（\rho \to 0\）时，函数 \（z = f（x, y）\）在点 \（（x, y）\）处可微分。此时，函数在 \（（x, y）\）处的全微分记为 \（dz\），其表达式为：

\[ dz = f_{xx}（x, y） \Delta x + f_{xy}（x, y） \Delta y \]

或者等价地：

\[ dz = f_{yx}（x, y） \Delta x + f_{yy}（x, y） \Delta y \]

其中，\（f_{xx}\）、\（f_{xy}\）、\（f_{yx}\）和 \（f_{yy}\）分别表示函数 \（f\）对 \（x\）和 \（y\）的二阶偏导数。

全微分的计算可以通过以下两种方法进行：

直接利用全微分的定义

根据全微分的定义，直接写出全微分的表达式。

利用偏导数

先求出函数对各个自变量的偏导数，然后利用全微分的定义计算全微分。

全微分是多元函数微分学的基础，掌握它对于理解和解决更复杂的微分问题至关重要。