根的解析式如何求解一元二次方程的根的和？

一元二次方程是数学中常见的方程类型，其形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。一元二次方程的根是解决该方程的关键，而根的解析式则是求解根的和的重要工具。本文将深入探讨如何利用根的解析式求解一元二次方程的根的和，并通过实际案例分析帮助读者更好地理解这一过程。

一、一元二次方程的根的解析式

一元二次方程的根的解析式，即求根公式，是指通过公式直接计算出方程根的方法。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的解析式为：

x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)

其中，x₁和x₂分别表示方程的两个根，√表示开方。

二、根的解析式求解一元二次方程的根的和

一元二次方程的根的和可以通过根的解析式直接计算得出。根据求根公式，方程的两个根x₁和x₂分别为：

x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)

将这两个根相加，得到：

x₁ + x₂ = [(-b + √(b²-4ac)) / (2a)] + [(-b - √(b²-4ac)) / (2a)]

合并同类项，得：

x₁ + x₂ = -b / a

因此，一元二次方程ax²+bx+c=0的根的和为-b/a。

三、案例分析

为了帮助读者更好地理解根的解析式求解一元二次方程的根的和，以下通过实际案例进行分析。

案例一：求解方程2x²+3x-2=0的根的和

首先，根据一元二次方程的根的解析式，我们可以计算出方程的两个根：

x₁ = (-3 + √(3²-4×2×(-2))) / (2×2)
x₂ = (-3 - √(3²-4×2×(-2))) / (2×2)

计算得：

x₁ = (-3 + √(9+16)) / 4
x₂ = (-3 - √(9+16)) / 4

化简得：

x₁ = (-3 + √25) / 4
x₂ = (-3 - √25) / 4

进一步计算得：

x₁ = (-3 + 5) / 4
x₂ = (-3 - 5) / 4

最后得到：

x₁ = 2 / 4
x₂ = -8 / 4

化简得：

x₁ = 1/2
x₂ = -2

根据根的解析式求解一元二次方程的根的和，我们可以得到：

x₁ + x₂ = -b / a = -3 / 2

因此，方程2x²+3x-2=0的根的和为-3/2。

通过以上案例分析，我们可以看到，利用根的解析式求解一元二次方程的根的和是一种简单、直接的方法。掌握这一方法，有助于我们更好地解决一元二次方程问题。