如何用解析式求解一元二次方程的重根？

在数学领域，一元二次方程是一个非常重要的内容。对于一元二次方程，其根的情况有三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根（即重根）和没有实数根。本文将重点探讨如何用解析式求解一元二次方程的重根。

一元二次方程的一般形式为 ax^2+bx+c=0，其中 a, b, c 是实数且 a \neq 0。一元二次方程的根可以通过求解公式得到，即：

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

其中，\sqrt{b^2-4ac} 称为判别式，用 \Delta 表示。根据判别式的值，我们可以判断一元二次方程的根的情况：

1. 当 \Delta > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当 \Delta = 0 时，方程有两个相等的实数根（即重根）；
3. 当 \Delta < 0 时，方程没有实数根。

接下来，我们重点讨论如何用解析式求解一元二次方程的重根。

重根的条件

根据一元二次方程的求解公式，当 \Delta = 0 时，方程有两个相等的实数根。因此，求解一元二次方程的重根，关键在于求解判别式 \Delta 的值。

求解判别式

判别式 \Delta 的计算公式为：

\Delta = b^2 - 4ac

当 \Delta = 0 时，我们可以得到以下两种情况：

1. b^2 - 4ac = 0；
2. b = 0。

对于第一种情况，我们可以将方程重写为：

b^2 = 4ac

然后，我们可以通过以下步骤求解方程的重根：

1. 将方程 ax^2+bx+c=0 改写为 ax^2+bx = -c；
2. 将方程两边同时除以 a，得到 x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}；
3. 完全平方，得到 (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}；
4. 移项，得到 (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}；
5. 由于 \Delta = 0，所以 \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0，从而得到 x + \frac{b}{2a} = 0；
6. 解得 x = -\frac{b}{2a}。

因此，当 \Delta = 0 时，一元二次方程的重根为 x = -\frac{b}{2a}。

案例分析

为了更好地理解如何用解析式求解一元二次方程的重根，我们来看一个具体的例子。

例1：求解方程 x^2 - 4x + 4 = 0 的重根。

首先，我们计算判别式 \Delta：

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0

由于 \Delta = 0，所以方程有两个相等的实数根。根据上述求解步骤，我们可以得到：

x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2

因此，方程 x^2 - 4x + 4 = 0 的重根为 x = 2。

通过以上分析和案例分析，我们可以看出，求解一元二次方程的重根的关键在于计算判别式的值，并根据判别式的值进行相应的计算。希望本文能够帮助您更好地理解和掌握一元二次方程的重根求解方法。

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